Question

3．已知函數(shù)f（x）=（ax²+x-1）e^x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）若曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為4e，求切線方程；
（Ⅱ）試求f（x）的單調(diào)區(qū)間并求出當(dāng)a＞0時f（x）的極小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1）的值，由f′（1）=4e解得a=1，再求出f（1），然后利用直線方程的點(diǎn)斜式求得切線方程；
（Ⅱ）分a=0，a＞0，a＜0分別求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對函數(shù)的定義域分段，再由導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性求得在a＞0時原函數(shù)的極值．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=（ax²+x-1）e^x，得
f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x-1）e^x=[ax²+（2a+1）x]•e^x，
∴f′（1）=（3a+1）e=4e，解得：a=1．
∴f（1）=e，
∴切點(diǎn)坐標(biāo)為 （1，e），
則切線方程為：y-e=4e（x-1），
即所求切線方程為：4ex-y-3e=0；
（Ⅱ）（1）當(dāng)a=0時，f（x）=（x-1）e^x，f′（x）=xe^x，
∴當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，
當(dāng)x＜0時，f′（x）＜0，
f（x）的遞減區(qū)間為（-∞，0]，遞增區(qū)間為（0，+∞）．
（2）當(dāng)a＞0時，f′（x）=[ax²+（2a+1）]e^x=[x（ax+2a+1）]e^x，
令f′（x）=0，解得：$x=0，x=-\frac{2a+1}{a}＜0$．
當(dāng)$x＜-\frac{2a+1}{a}$或x＞0時，f′（x）＞0，
當(dāng)$-\frac{2a+1}{a}＜x＜0$時，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$[-\frac{2a+1}{a}，0]$，
單調(diào)遞增區(qū)間為$（-∞，-\frac{2a+1}{a}）$，（0，+∞），
∴f（x）的極小值為f（0）=-1；
（3）當(dāng)a＜0時，令f′（x）=0，解得：$x=0，x=-\frac{2a+1}{a}$
①若$-\frac{1}{2}＜a＜0$，當(dāng)x＜0或$x＞-\frac{2a+1}{a}$時，f′（x）＜0；
當(dāng)0＜x＜$-\frac{2a+1}{a}$時，f′（x）＞0．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），$（\frac{2a+1}{a}，+∞）$；
單調(diào)遞增區(qū)間為$[0，-\frac{2a+1}{a}]$．
②若$a=-\frac{1}{2}$，${f}^{′}（x）=-\frac{1}{2}{x}^{2}{e}^{x}≤0$，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，+∞）．
③若$a＜-\frac{1}{2}$，當(dāng)$x＜-\frac{2a+1}{a}$或x＞0時，f′（x）＜0；
當(dāng)$-\frac{2a+1}{a}＜x＜0$時，f′（x）＞0．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$（-∞，-\frac{2a+1}{a}）$，（0，+∞）；
單調(diào)遞增區(qū)間為$[-\frac{2a+1}{a}，0]$．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了函數(shù)極值的求法，正確分類是解決該題的關(guān)鍵，屬難題．