Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足：a₁＝a(a≠0)，a_n＋1＝rS_n(n∈N^*，r∈R，r≠－1)．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)若存在k∈N^*，使得S_k＋1，S_k，S_k＋2成等差數(shù)列，試判斷：對于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m＋1，a_m，a_m＋2是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解析　(1)由已知a_n＋1＝rS_n，可得a_n＋2＝rS_n＋1，兩式相減可得a_n＋2－a_n＋1＝r(S_n＋1－S_n)＝ra_n＋1，即a_n＋2＝(r＋1)a_n＋1，又a₂＝ra₁＝ra，

所以當(dāng)r＝0時(shí)，數(shù)列{a_n}為：a,0，…，0，…；

當(dāng)r≠0，r≠－1時(shí)，由已知a≠0，所以a_n≠0(n∈N^*)，

于是由a_n＋2＝(r＋1)a_n＋1，可得＝r＋1(n∈N^*)，

∴a₂，a₃，…，a_n，…成等比數(shù)列，

∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n＝r(r＋1)^n－2a.

綜上，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n＝

(2)對于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m＋1，a_m，a_m＋2成等差數(shù)列．證明如下：

當(dāng)r＝0時(shí)，由(1)知，a_n＝

∴對于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m＋1，a_m，a_m＋2成等差數(shù)列．

當(dāng)r≠0，r≠－1時(shí)，∵S_k＋2＝S_k＋a_k＋1＋a_k＋2，S_k＋1＝S_k＋a_k＋1.若存在k∈N^*，

使得S_k＋1，S_k，S_k＋2成等差數(shù)列，則S_k＋1＋S_k＋2＝2S_k，

∴2S_k＋2a_k＋1＋a_k＋2＝2S_k，即a_k＋2＝－2a_k＋1.

由(1)知，a₂，a₃，…，a_m，…的公比r＋1＝－2，于是

對于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m＋1＝－2a_m，從而a_m＋2＝4a_m，

∴a_m＋1＋a_m＋2＝2a_m，即a_m＋1，a_m，a_m＋2成等差數(shù)列．

綜上，對于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m＋1，a_m，a_m＋2成等差數(shù)列．