【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的焦距為4，且過點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程

（2）設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，問是否存在直線，使得為的垂心，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

【答案】（1）；（2）存在直線滿足題設(shè)條件,詳見解析

【解析】

（1）由已知列出關(guān)于，，的方程組，解得，，，寫出結(jié)果即可；

（2）由已知可得，，．所以，因?yàn)?/span>，所以可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理，得．設(shè)，，，，由根與系數(shù)的關(guān)系寫出兩根之和和兩根之積的表達(dá)式，再由垂心的性質(zhì)列出方程求解即可．

（1）由已知可得，

解得，，，所以橢圓的方程為．

（2）由已知可得，，∴.∵，

∴可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理，

得.設(shè)，

則，∵.

即

∵

即，∵

∴或.

由，得

又時(shí)，直線過點(diǎn)，不合要求，∴，

故存在直線滿足題設(shè)條件.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，若直線與曲線相切；

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）在曲線上取兩點(diǎn)，與原點(diǎn)構(gòu)成，且滿足，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到的估計(jì)值為.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中的值；

（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】判斷下列命題的真假.

（1）過一條直線的平面有無數(shù)多個(gè)；

（2）如果兩個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么它們就有無數(shù)多個(gè)公共點(diǎn)，并且這些公共點(diǎn)都在直線上；

（3）兩個(gè)平面的公共點(diǎn)組成的集合，可能是一條線段；

（4）兩個(gè)相交平面可能存在不在一條直線上的3個(gè)公共點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=2，f（x）-f（x-1）=2x+1，求函數(shù)f（x2+1）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國(guó)家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康.經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加，為了更好的制定2019年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收入力爭(zhēng)早日脫貧的工作計(jì)劃，該地扶貧辦隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了2018年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)50位農(nóng)民的年平均收入（單位：千元）（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）；

（Ⅱ）由頻率分布直方圖可認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民年收入服從正態(tài)分布，其中近似為年平均收入，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算得.利用該正態(tài)分布，求：

（i）在2018年脫貧攻堅(jiān)工作中，該地區(qū)約有的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？

（ii）為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策要求落實(shí)情況，扶貧辦隨機(jī)走訪了1000位農(nóng)民.若每個(gè)農(nóng)民的年收入相互獨(dú)立，問：這1000位農(nóng)民中的年收入不少于12.14千元的人數(shù)約為多少？

參考數(shù)據(jù)：.若，則；；.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求函數(shù)f（x）的極值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足：

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)是軌跡上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在直線上，線段的中垂線與交于兩點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)，在培訓(xùn)期間，他們參加的5項(xiàng)預(yù)賽成績(jī)記錄如下：

(1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)；

(2)從甲、乙兩人的成績(jī)中各隨機(jī)抽取一個(gè)，求甲的成績(jī)比乙高的概率；

(3)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適？說明理由．

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