Question

如圖，在△ABC中，BC=2，BC邊上的高AD=1，P是BC邊上任一點(diǎn)，PE∥AB交AC于點(diǎn)E，PF∥AC交AB于點(diǎn)F．
（1）設(shè)BP=x，請(qǐng)寫出用x表示S_△PEF的表達(dá)式；
（2）P在BC的什么位置時(shí)，S_△PEF取得最大值？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先，求解三角形ABC的面積，然后結(jié)合三角形相似，面積比等于相似比的平方，得到△CEP和△BPF的面積，再根據(jù)四邊形AEPF為平行四邊形，從而得到S_△PEF的表達(dá)式；
（2）根據(jù)（1），結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求解最大值即可．

解答： 解：（1）∵BC=2，BC邊上的高AD=1，
∴S△ABC=

1

2

×2×1=1，
∵BP=x，
∴PC=2-x，
∵PE∥AB，
∴△CEP與△CAB相似，
∴

S△CEP

S△CAB

=(

2-x

2

)2，
∴S△CEP=1-x+

x2

4

，
同理，得到S△BPF=

x2

4

，
∵四邊形AEPF為平行四邊形，
∴S_△PEF=

1

2

S?AEPF=

1

2

（S_△ABC-S_△CEP-S_△BPF）
=-

1

4

x2+

1

2

x，（0＜x＜2）．
S_△PEF=-

1

4

x2+

1

2

x（0＜x＜2）．
（2）由（1）知S_△PEF=-

1

4

x2+

1

2

x=-

1

4

（x-1）²+

1

4

，
∵0＜x＜2，
∴當(dāng)x=1時(shí)，面積有最大值

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合平面幾何知識(shí)綜合考查建立函數(shù)解析式的能力，找準(zhǔn)變量之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于難題．