Question

17．已知F₁、F₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)F₁作直線l與雙曲線的左支交于M，N兩點(diǎn)，若|MF₂|=|MN|，且MF₂⊥MN，則雙曲線的離心率為 （　　）

• A． $\sqrt{5-2\sqrt{3}}$
• B． $\sqrt{5-2\sqrt{2}}$
• C． $\sqrt{4-2\sqrt{2}}$
• D． $\sqrt{3-\sqrt{3}}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線第一定義有|MF₂|-|MF|=2a，|NF₂|-|NF|=2a，兩式相加得|MF₂|+|NF₂|-|MN|的值，利用|MF₂|=|MN|，且MF₂⊥MN，求出|MF₂|=2$\sqrt{2}$a．|MF₁|=（2$\sqrt{2}$-2）a，由勾股定理可得8a²+（2$\sqrt{2}$-2）²a²=4c²，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：根據(jù)雙曲線定義有|MF₂|-|MF₁|=2a，|NF₂|-|NF₁|=2a，
兩式相加得|MF₂|+|NF₂|-|MN|=4a．
∵|MF₂|=|MN|，
∴|NF₂|=4a，
∵M(jìn)F₂⊥MN，
∴|MF₂|=2$\sqrt{2}$a．|MF₁|=（2$\sqrt{2}$-2）a，
∴由勾股定理可得8a²+（2$\sqrt{2}$-2）²a²=4c²，
∴e=$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線定義的靈活運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．