Question

2．（1）已知x，y∈R⁺，x≠y，求證：$\frac{1}{x}$$+\frac{1}{y}$$＞\frac{2}{x+y}$；
（2）如何改進(jìn)上述結(jié)論，使之成為-個(gè)更好的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)對(duì)（x+y）²＞2xy（x、y∈R⁺）變形可知$\frac{（x+y）^{2}}{xy}$＞2，從而$\frac{x+y}{xy}$＞$\frac{2}{x+y}$，整理即得結(jié)論；
（2）通過(guò)換元，令$\frac{1}{x}$=m、$\frac{1}{y}$=n，整理即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵x、y∈R⁺，x≠y，（x+y）²＞2xy，∴$\frac{（x+y）^{2}}{xy}$＞2，
∴$\frac{x+y}{xy}$＞$\frac{2}{x+y}$，
∴$\frac{1}{x}$$+\frac{1}{y}$$＞\frac{2}{x+y}$；
（2）解：令$\frac{1}{x}$=m、$\frac{1}{y}$=n，則x=$\frac{1}{m}$、y=$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{1}{x}$$+\frac{1}{y}$$＞\frac{2}{x+y}$即m+n＞$\frac{2}{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}$，
∴結(jié)論為：已知x，y∈R⁺，x≠y，則x+y＞$\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，利用基本不等式是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．