已知f（x）=-
4+
1
x2
，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點Pn（an，-
1
an+1
）在曲線y=f（x）上（n∈N*）且a1=1，an＞0．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）試找整數(shù)M，使M＜S31＜M+1．
考點：數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的求和
專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）證明數(shù)列{
1
an2
}是等差數(shù)列，首項為1，公差d=4，即可求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）利用放縮法，即可找整數(shù)M，使M＜S31＜M+1．
解答： 解：（1）∵點Pn（an，-
1
an+1
）在曲線y=f（x）上，
∴-
1
an+1
=-
4+
1
an2
且an＞0
∴
1
an+12
-
1
an2
=4
∴數(shù)列{
1
an2
}是等差數(shù)列，首項為1，公差d=4，
∴
1
an2
=4n-3，
∴an2=
1
4n-3

∵an＞0
∴an=
1
4n-3
…（6分）
（2）n≥2時，an=
2
2
4n-3
＞
2
4n-3
+
4n+1
=
4n+1
-
4n-3
2
，
an=
2
2
4n-3
＜
2
4n-3
+
4n-7
=
4n-3
-
4n-7
2

∴S31＞1+
9
-
5
2
+
13
-
9
2
+…+
125
-
121
2
=1+
125
-
5
2
＞5
S31＜1+
5
-1
2
+…+
121
-
117
2
=6
因此整數(shù)M=5．
點評：本題考查數(shù)列通項公式的求法和不等式的證明，解題時要認真審題，注意數(shù)列性質(zhì)的合理運用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的兩根為x1，x2，并且0＜x1＜1＜x2，則
b
a
的取值范圍是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點．
（1）求證：BD1∥平面AEC；
（2）求BC1與平面ACC1A1所成的角．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直線y=x被曲線2x2+y2=2截得的弦長為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合P={x|-2≤x≤5}，Q={x|k+1≤x≤2k-1}，當P∩Q=∅時，求實數(shù)k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{2n-1•an}的前n項和Sn=9-6n．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)bn=n•（3-log2
|an|
3
），設(shè)數(shù)列{
1
bn
}的前n項和為Tn，求使Tn＜
m
6
恒成立的m的最小整數(shù)值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知
OA
=
a
+
b
+2
c
，
OB
=2
a
-
b
+
c
，
OC
=2
a
+3
b
+2
c
，
OD
=5
a
-3
b
-
c
，其中
.
a
，
b
，
c
三向量不共面．試判斷A，B，C，D四點是否共面？
（2）設(shè)
a1
=2
i
-
j
+
k
，
a2
=
i
+3
j
-2
k
，
a3
=-2
i
+
j
-3
k
，
a4
=3
i
+2
j
+5
k
．試問是否存在實數(shù)λ，μ，v，使
a4
=λ
a1
+μ
a2
+v
a3
成立？如果存在，求出λ，μ，v；如果不存在，請給出理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求下列函數(shù)的值域：
（1）y=x+
5
x
（x≥1）；
（2）y=x+
5
x
（x≤-3）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=（2，-1），
b
=（λ，3），若
a
與
b
的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是
 
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案