Question

【題目】設(shè)有一組圓，下列四個(gè)命題：①存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均相切；②存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均相交；③存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均不相交；④所有的圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)圓的方程找出圓心坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)滿(mǎn)足條件的所有圓的圓心在一條直線(xiàn)上，所以這條直線(xiàn)與所有的圓都相交，②正確；根據(jù)圖象可知這些圓互相內(nèi)含，不存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均相切，不存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均不相交，所以①③錯(cuò)；利用反證法，假設(shè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，將代入圓的方程，因?yàn)樽筮厼槠鏀?shù)，右邊為偶數(shù)，故不存在使上式成立，假設(shè)錯(cuò)誤，則圓不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，④正確．

解：根據(jù)題意得：圓心，圓心在直線(xiàn)上，故存在直線(xiàn)與所有圓都相交，選項(xiàng)②正確；

考慮兩圓的位置關(guān)系，

圓：圓心，半徑為，

圓：圓心，，即，半徑為，

兩圓的圓心距，

兩圓的半徑之差，

任取或2時(shí)，，含于之中，選項(xiàng)①錯(cuò)誤；

若取無(wú)窮大，則可以認(rèn)為所有直線(xiàn)都與圓相交，選項(xiàng)③錯(cuò)誤；

將帶入圓的方程，則有，即，

因?yàn)樽筮厼槠鏀?shù)，右邊為偶數(shù)，故不存在使上式成立，即所有圓不過(guò)原點(diǎn)，選項(xiàng)④正確．

則正確命題是②④．

故選：．