Question

（文）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧1，2，3}，值域?yàn)榧�合{1，2，3，4}的非空真子集，設(shè)點(diǎn)A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3）），且（

BA

+

BC

）•

AC

=0，則滿足條件的函數(shù)f（x）有

 

個(gè)．

Answer 1

考點(diǎn)：分類加法計(jì)數(shù)原理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)（

BA

+

BC

）•

AC

=0，可推出|

BC

|=|

BA

|，從而可得f（1）=f（3），或f（1）+f（3）=2f（2），根據(jù)分類加法原理和分步乘法原理，可計(jì)算出f（1）=f（3）時(shí)有16種可能，f（1）+f（3）=2f（2）時(shí)有4種可能，相加即可．

解答： 解：∵

AC

=

BC

-

BA

，
∴（

BA

+

BC

）•

AC

=0可化為，

BC

2-

BA

2=0，
即|

BC

|=|

BA

|，
∴（f（2）-f（1））²=（f（2）-f（3））²，
即f（1）=f（3），或f（1）+f（3）=2f（2）
∴根據(jù)題意可知，
滿足條件的A、B、C三點(diǎn)的情況可分為兩類：
①f（1）=f（3）時(shí)，f（1）=f（3）有4種選擇，f（2）也有4種選擇，
∴此類情況有4×4=16種；
②f（1）+f（3）=2f（2）時(shí)，即f（1），f（2），f（3）成等差數(shù)列時(shí)，
有如下情況，1、2、3；3、2、1；2、3、4；4、3、2，共4種，
∴滿足條件的函數(shù)f（x）有16+4=20個(gè)
故答案為：20．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的加減法運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，計(jì)數(shù)原理的等知識(shí)的綜合應(yīng)用，以及分情況討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．