Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且存在常數(shù)p，r，t（其中r≠0），使得a_n+a_n+1=r•2^n-1與a_n+1=pa_n-pt對(duì)任意正整數(shù)n都成立；數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列．
（1）求常數(shù)p，r，t．并寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）如果{b_n}滿足條件：①b₁為正整數(shù)；②公差為1；③項(xiàng)數(shù)為m（m為常數(shù)）；④2（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）（1+

1

b3

）…（1+

1

bn

）=log₂a_m，試求所有滿足條件的m值．
（3）如果數(shù)列{a_n}與數(shù)列{b_n}沒有公共項(xiàng)，數(shù)列{a_n}與{b_n}的所有項(xiàng)按從小到大的順序排列成：1，c₂，c₃，c₄，4，…，且1，c₂，c₃，c₄，4成等比數(shù)列，試求滿足條件的所有數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的應(yīng)用,等比關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1=pa_n-pt對(duì)任意正整數(shù)n都成立，再寫一式，兩式相加，可得r•2^n-1（p-2）-2pt=0，令n=1，2，即可求常數(shù)p，r，t．并寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先得出m=3+

6

b1-2

，即可求所有滿足條件的m值．
（3）先判斷b₁，b₂在前5項(xiàng)中，而b₃不在，即b₃＞4，再分類討論，即可求滿足條件的所有數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：（1）∵a_n+1=pa_n-pt對(duì)任意正整數(shù)n都成立，
∴a_n+2=pa_n+1-pt，
兩式相加可得a_n+1+a_n+2=p（a_n+a_n+1）-2pt，
∵a_n+a_n+1=r•2^n-1，
∴r•2ⁿ=pr•2^n-1-2pt，
即r•2^n-1（p-2）-2pt=0，
令n=1，2得，r•（p-2）-2pt=0，r•2（p-2）-2pt=0，
∴p=2，t=0，
∴a_n+1=2a_n，
∴a_n=2^n-1，
∵a_n+a_n+1=r•2^n-1，
∴2^n-1+2ⁿ=r•2^n-1，
∴r=3；
（2）由2（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）（1+

1

b3

）…（1+

1

bn

）=log₂a_m，b_n=b_n-1+1，
∴2•

bm+1

b1

=m-1，
∵b_m=b₁+（m-1），
代入整理可得m=3+

6

b1-2

，
∵b₁，m為正整數(shù)，
∴

b1=3 m=9

或

b1=4 m=6

或

b1=5 m=5

或

b1=8 m=4

，
∴m取4，5，6，9；
（3）由已知，a₁=1，a₂=2，a₃=4，故數(shù)列{a_n}共3項(xiàng)在1，c₂，c₃，c₄，4，…，的前5項(xiàng)中，
∴b₁，b₂在前5項(xiàng)中，而b₃不在，即b₃＞4．
①若1，2之間無{b_n}的項(xiàng)，則c₂=2，前4項(xiàng)1，2，c₃，c₄，成等比數(shù)列，則公比為

2

，
∴c₁=4為其前三項(xiàng)，與已知矛盾；
②若1，2之間有且只有{b_n}的一項(xiàng)b₁，則1，b₁，2成等比數(shù)列，則公比為2，
∴前5項(xiàng)為1，

2

，2，2

2

，4，滿足條件，此時(shí)b_n=

2

n；
③1，2之間有且只有{b_n}的兩項(xiàng)b₁，b₂，則前4項(xiàng)1，b₁，b₂，2，
∴公差d＜1，則b₃=b₂+d=2+1=3與b₃＞4矛盾．
∴b_n=

2

n滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查小時(shí)分析解決問題的能力，難度大．