已知函數(shù)f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x+m在區(qū)間[0，
π
3
]上的最大值為2．
（1）求常數(shù)m的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC面積為
9
3
4
，求邊長a．
考點：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用
專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：（1）先化簡得f（x）=2sin（2x+
π
6
）+m+1，由x的范圍可求得函數(shù)最大值，令其等于2可求m；
（2）由f（A）=1可求A，由sinB=3sinC得b=3c，①由△ABC面積為
9
3
4
，得bc=9，②聯(lián)立可求；
解答： 解：（1）f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x+m=2sin（2x+
π
6
）+m+1，
∵x∈[0，
π
3
]，∴2x+
π
6
∈[
π
6
，
5π
6
]，
∴當(dāng)2x+
π
6
=
π
2
即x=
π
6
時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
π
3
]上取到最大值，
此時，f(x)max=f(
π
6
)=m+3=2，解得m=-1；
（2）∵f（A）=1，
∴2sin（2A+
π
6
）=1，即sin（2A+
π
6
）=
1
2
，解得A=0（舍去）或A=
π
3
，
∵sinB=3sinC，
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
，
∴b=3c，①
∵△ABC面積為
9
3
4
，
∴S=
1
2
bcsinA=
1
2
bc•
3
2
=
9
3
4
，即bc=9，②
由①②解得b=3
3
，c=
3
，
∵a2=b2+c2-2bccosA=21，
∴a=
21
．
點評：該題考查三角恒等變換、正弦定理及其應(yīng)用，考查學(xué)生的運算求解能力，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在△ABC中，AB=3，∠A=60°，∠A的平分線AD交邊BC于點D，且
AD
=λ
AC
+
1
6
AB
（λ∈R），則AD的長為（　�。�
A、
3
2
B、
3
C、1
D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx+
1
x
-1；
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及最值；
（2）證明：對任意的正整數(shù)n，1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
≥ln
en
n!
都成立．
（3）是否存在過點（1，-1）的直線與函數(shù)y=f（x）的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=4x焦點為F，過F的直線交拋物線C于A，B兩點，l1、l2分別過點A、B且與拋物線C相切，P為l1、l2的交點．
（1）求證：動點P在一條定直線上，并求此直線方程；
（2）設(shè)C、D為直線l1、l2與直線x=4的交點，△PCD面積為S1，△PAB面積為S2，求
S1
S2
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=1，b=2，cos（A+B）=
1
4
，則c的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，設(shè)平面向量
a
=（cosA，sinA），
b
=（
3
2
，
1
2
），函數(shù)f（A）=
a
•
b
+1，
（Ⅰ）求函數(shù)f（A）的值域和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)f（A）=
9
5
，且
π
6
＜A＜
2π
3
時，求sinA的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足2an-Sn=1，n∈N*．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）在數(shù)列{an}的每相鄰兩項an和an+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記其公差為dn；例如：在a1和a2之間插入1個數(shù)，使這3個數(shù)成等差數(shù)列，記公差為d1；在a2和a3之間插入2個數(shù)，使這4個數(shù)成等差數(shù)列，記公差為d2；…以此類推
（i）求出dn的表達(dá)式（用n表示）
（ii）按照以上規(guī)則插入數(shù)后，依次排列構(gòu)成新的數(shù)列{bn}，求b2014的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正數(shù)數(shù)列{an}（n∈N*）中，Sn為{an}的前n項和，若點（an，Sn）在函數(shù)y=
c2-x
c-1
的圖象上，其中c為正常數(shù)，且c≠1．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)M，使得當(dāng)n＞M時，a1•a3•a5…a2n-1＞a101恒成立？若存在，求出使結(jié)論成立的c的取值范圍和相應(yīng)的M的最小值．
（Ⅲ）若存在一個等差數(shù)列{bn}，對任意n∈N*，都有b1an+b2an-1+b3an-2+…+bn-1a2+bna1=3n-
5
3
n-1成立，求{bn}的通項公式及c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若正數(shù)a，b滿足a+b=1，則
1
3a+2
+
1
3b+2
的最小值為
 
．

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