Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足2a_n-S_n=1，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）在數(shù)列{a_n}的每相鄰兩項a_n和a_n+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)構成等差數(shù)列，記其公差為d_n；例如：在a₁和a₂之間插入1個數(shù)，使這3個數(shù)成等差數(shù)列，記公差為d₁；在a₂和a₃之間插入2個數(shù)，使這4個數(shù)成等差數(shù)列，記公差為d₂；…以此類推
（i）求出d_n的表達式（用n表示）
（ii）按照以上規(guī)則插入數(shù)后，依次排列構成新的數(shù)列{b_n}，求b₂₀₁₄的值．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等差數(shù)列的性質

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）在數(shù)列遞推式中取n=n-1得另一遞推式，作差后得到等比數(shù)列{a_n}，由等比數(shù)列的通項公式得答案；
（2）（i）直接由等差數(shù)列的通項公式求得公差；
（ii）求出b₂₀₁₄是插入數(shù)后第幾個等差數(shù)列的第幾項，然后由等差數(shù)列的通項公式求得答案．

解答： 解：（1）n≥2時，由2a_n-S_n=1，得2a_n-1-S_n-1=1．
兩式相減可得：a_n=2a_n-1 （n≥2），
又由2a_n-S_n=1得a₁=1≠0，
∴數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1；
（2）（i）由（1）知a_n=2^n-1，a_n+1=2ⁿ，
∵a_n+1=a_n+（n+1）d_n，
∴d_n=

an+1-an

n+1

=

2n-1

n+1

．
（ii）由題意可知，以等比數(shù)列的每一項構成的等差數(shù)列所含項數(shù)分別為2、3、4、…、n，
2+3+4+…+n=

(n-1)(n+2)

2

，
當n=62時，

(n-1)(n+2)

2

=1952．
∴b₂₀₁₄是第62個等差數(shù)列的第62項．
∵a62=261，d62=

261

63

，
∴b₂₀₁₄=261+(62-1)×

261

63

=261+

61

63

×261=

31

63

×263．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列的性質，關鍵是求出b₂₀₁₄是插入數(shù)后第幾個等差數(shù)列的第幾項，是中檔題．