Question

已知橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其右頂點(diǎn)A（2，0），離心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N（M，N不與左、右頂點(diǎn)重合），且

MA

•

NA

=0．求證：直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由雙曲線方程求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合條件b²=a²-c²求出b，則橢圓C的方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出M，N的坐標(biāo)，聯(lián)立直線和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后求出M，N的橫坐標(biāo)的和與積，代入

MA

•

NA

=0得到k與m的關(guān)系，從而證明直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其右頂點(diǎn)A（2，0），離心率e=

3

2

，
∴a=2，

c

a

=

3

2

，
∴c=

3

，∴b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）直線l：y=kx+m代入橢圓方程，消去y，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
由題意：△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0
整理得：4k²-m²+1＞0 ①
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，x₁x₂=

4m2-4

1+4k2

由已知，AM⊥AN，且橢圓的右頂點(diǎn)為A（2，0）
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0
即（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0
也即（1+k²）•

4m2-4

1+4k2

+（km-2）（-

8km

1+4k2

）+m²+4=0
整理得：5m²+16mk124k²=0
解得：m=-2k或m=-

6k

5

，均滿足①
當(dāng)m=-2k時(shí)，直線l的方程為y=kx-2k，過定點(diǎn)（2，0），舍去
當(dāng)m=-

6k

5

，時(shí)，直線l的方程為y=k（x-

6

5

），過定點(diǎn)（

6

5

，0），
故直線l過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為（

6

5

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，訓(xùn)練了設(shè)而不求的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力．