Question

已知函數(shù)f（x）=ax³lnx+bx³+c在x=1處取得極值4+c．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）≤3c²對(duì)?x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）因?yàn)閤=1時(shí)函數(shù)取得極值得f（x）=4+c求出b，然后令導(dǎo)函數(shù)等于求出a即可；
（2）不等式f（x）≤3c²對(duì)?x∈（0，+∞）恒成立即f（x）的極大值小于等于3c²，求出c的解集即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³lnx+bx³+c，
∴x＞0，f′（x）=x²（3alnx+a+3b），
∵函數(shù)f（x）=ax³lnx+bx³+c在x=1處取得極值4+c，
∴

f(1)=4+c f′(1)=0

，

b+c=4+c a+3b=0

，解得a=-12，b=4．
（2）由（1）知f（x）=-12ax³lnx+4x³+c，
f′（x）=-36x²lnx，令f′（x）=0，解得x=1
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0，此時(shí)f（x）為減函數(shù)
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），而f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞），
f（x）在x=1處取得極大值f（1）=4+c，此極大值也是最大值，
不等式f（x）≤3c²對(duì)?x∈（0，+∞）恒成立，只需4+c≤3c²，
解得-1≤c≤

4

3

．
∴實(shí)數(shù)c的取值范圍是[-1，

4

3

]．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，函數(shù)恒成立時(shí)條件的應(yīng)用能力．