Question

如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=60°，AC∩BD=O，將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點M是棱BC的中點，且DM=2

2

．
（1）求證：OM∥平面ABD；
（2）求證：平面DOM⊥平面ABC；  
（3）求點B到平面DOM的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)三角形的中位線定理，可得OM∥AB．再由線面平行判定定理，得到OM∥平面ABD；
（2）在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4，OD=

1

2

BD=2，從而算出∠DOM=90°，即OD⊥OM．根據(jù)OD⊥AC，利用線面垂直判定定理得到OD⊥平面ABC，進而得出平面DOM⊥平面ABC．
（3）分別算出△DOM的△ABC面積，利用三棱錐B-DOM與三棱錐D-BOM體積相等加以計算，可得點B到平面DOM的距離．

解答： 解：（1）∵△ABC中，O為AC的中點，M為BC的中點，
∴OM∥AB．
∵OM?平面ABD，AB?平面ABD，
∴OM∥平面ABD．
（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，
∴在三棱錐B-ACD中，OD⊥AC．
在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．
∵O為BD的中點，∴OD=

1

2

BD=2．
∵O為AC的中點，M為BC的中點，∴OM=

1

2

AB=2
又∵OD²+OM²=8=DM²，∴∠DOM=90°，即OD⊥OM．
∵AC?平面ABC，OM?平面ABC，AC∩OM=O，
∴OD⊥平面ABC．
∵OD?平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．
（3）由（2）得OD⊥平面BOM，可得OD是三棱錐D-BOM的高．
設(shè)點B到面DOM距離為h，由OD=2，
∴S△ABC=

1

2

×OB×BMsin60°=

3

，S△DOM=

1

2

×OD×OM=2
∵因為V_B-DOM=V_D-BOM，
∴

1

3

S_△DOM•h=

1

3

S_△ABC•OD，即

1

3

×2h=

1

3

×

3

×2，解得h=

3

，
即點B到平面DOM的距離等于

3

．

點評：本題給出平面圖形的翻折，求證線面平行、面面垂直，并求點到平面的距離．著重考查了線面平行判定定理、面面垂直與線面性質(zhì)和性質(zhì)、利用等體積法求點面距離等知識，屬于中檔題．