Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，H是正方形AA₁B₁B的中心，AA₁=2

2

，C₁H⊥平面AA₁B₁B，且C₁H=

5

．
（Ⅰ）求異面直線AC與A₁B₁所成角的余弦值；
（Ⅱ）設(shè)N為棱B₁C₁的中點，點M在平面AA₁B₁B內(nèi)，且MN⊥平面A₁B₁C₁，求線段BM的長．

Answer 1

考點：用空間向量求直線間的夾角、距離,異面直線及其所成的角,點、線、面間的距離計算

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點B為坐標(biāo)原點．（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式，求出異面直線AC與A₁B₁所成角的余弦值；
（Ⅱ）設(shè)N為棱B₁C₁的中點，設(shè)M（a，b，0），利用MN⊥平面A₁B₁C₁，結(jié)合數(shù)量積為0列出關(guān)系式，求出a，b，然后求線段BM的長．

解答： 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
點B為坐標(biāo)原點，依題意得A（2

2

，0，0），B（0，0，0），
C（

2

，-

2

，

5

），A₁（2

2

，2

2

，0），
B₁（0，2

2

，0），C₁（

2

，

2

，

5

）
（I）解：易得

AC

=（-

2

，-

2

，

5

），

A1B1

=（-2

2

，0，0），
于cos＜

AC

，

A1B1

＞=

AC • A1B1

| AC || A1B1 |

=

4

3×2 2

=

2

3

，
∴異面直線AC與A₁B₁所成角的余弦值為

2

3

．
解：由N為棱B₁C₁的中點，
得N（

2

2

，

3 2

2

，

5

2

）．設(shè)M（a，b，0），
則

MN

=（

2

2

-a，

3 2

2

-b，

5

2

）
由MN⊥平面A₁B₁C₁，得

MN • A1B1 =0 MN • A1C1=0

，
即

( 2 2 -a)•(-2 2 )=0 ( 2 2 -a)(- 2 )+( 3 2 2 -b)(- 2 )+ 5 • 5 2 =0

解得

a= 2 2 b= 2 4

故M（

2

2

，

2

4

，0）．
因此

BM

=（

2

2

，

2

4

，0），∴線段BM的長為|

BM

|=

10

4

．

點評：本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．