Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P、Q分別是正方形AA₁D₁D和A₁B₁C₁D₁的中心．
（1）證明：PQ∥平面DD₁C₁C；     
（2）求PQ與平面AA₁D₁D所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接A₁C₁，DC₁，則Q為A₁C₁的中點(diǎn)，可得PQ∥DC₁，利用線面平行的判定定理，可得PQ∥平面DD₁C₁C；
（2）因?yàn)镻Q∥DC₁，所以PQ、DC₁與平面AA₁D₁D所成的角相等，從而可求PQ與平面AA₁D₁D所成的角．

解答： （1）證明：連接A₁C₁，DC₁，則Q為A₁C₁的中點(diǎn)．
∴PQ∥DC₁且PQ=

1

2

DC₁，
∵PQ?平面DD₁C₁C，DC₁?平面DD₁C₁C，
∴PQ∥平面DD₁C₁C；…（6分）
（2）解：∵PQ∥DC₁，
∴PQ、DC₁與平面AA₁D₁D所成的角相等，
∵DC₁與平面AA₁D₁D所成的角為45°，
∴PQ與平面AA₁D₁D所成的角為45°．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查線面角，其中證明PQ∥DC₁是關(guān)鍵．