Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面為邊長(zhǎng)為的菱形，側(cè)面為矩形，其中且，平面，點(diǎn)為的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）由為菱形和，可得為等邊三角形，進(jìn)而證明，又平面，可得，進(jìn)而可得平面；

（2）由（1）可得，平面，建立空間直接坐標(biāo)系，通過為邊長(zhǎng)為的菱形和，求點(diǎn)F，A，C，E的坐標(biāo)，進(jìn)而求平面的法向量，得出二面角的余弦值.

（1）因?yàn)?/span>為菱形，所以

又因?yàn)?/span>，所以為等邊三角形，

點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以；

又因?yàn)?/span>平面，面，所以；

因?yàn)?/span>，

所以平面.

（2）

由（1）可知，，又因?yàn)?/span>為菱形，所以

因?yàn)?/span>平面，所以,

分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

，因?yàn)?/span>，所以，，

，，

設(shè)平面FAC的法向量為：

可得，令，可得， ；

設(shè)平面EAC的法向量為：

可得，令，可得，

；

二面角為銳角，所以二面角的余弦值為：