如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的右頂點(diǎn)為A（2，0），點(diǎn)P（2e，
1
2
）在橢圓上（e為橢圓的離心率）．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)B，C（C在第一象限）都在橢圓上，滿足
OC
=λ
BA
，且
OC
•
OB
=0，求實(shí)數(shù)λ的值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a=2，
4e2
a2
+
1
4
b2
=1，由此能求出橢圓的方程．
（2）設(shè)直線OC的斜率為k，則直線OC方程為y=kx，直線AB方程為y=k（x-2），分別代入橢圓方程x2+4y2=4，由
OC
•
OB
=0，求出k=
2
2
，再由
OC
=λ
BA
，能求出實(shí)數(shù)λ的值．
解答： 解：（1）∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的右頂點(diǎn)為A（2，0），∴a=2，
∵點(diǎn)P（2e，
1
2
）在橢圓上，
∴
4e2
a2
+
1
4
b2
=1，
∵a2=4，e2=
c2
4
，a2=b2+c2，
∴b2=1，c2=3，
∴橢圓的方程為
x2
4
+y2=1．
（2）設(shè)直線OC的斜率為k，則直線OC方程為y=kx，
代入橢圓方程
x2
4
+y2=1，即x2+4y2=4，
得（1+4k2）x2=4，∴xc=
2
1+4k2
，
∴C（
2
1+4k2
，
2k
1+4k2
），
又直線AB方程為y=k（x-2），代入橢圓方程x2+4y2=4，
得（1+4k2）x2-16k2x+16k2-4=0，
∵xA=2，∴xB=
2(4k2-1)
1+4k2
，
∵
OC
•
OB
=0，
∴
2(4k2-1)
1+4k2
•
2
1+4k2
+
-4k
1+4k2
•
2k
1+4k2
=0，
∴k2=
1
2
，∵C在第一象限，∴k＞0，∴k=
2
2
，
∵
OC
=（
2
1+4k2
，
2k
1+4k2
），
BA
=（2-
2(4k2-1)
1+4k2
，0-
-4k
1+4k2
）=（
4
1+4k2
，
4k
1+4k2
），
由
OC
=λ
BA
，得λ=
k2+
1
4
，
∴k=
2
2
，∴λ=
3
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查實(shí)數(shù)的值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)運(yùn)算，注意推理論證能力的培養(yǎng)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={-1，0}，則滿足A∪B={-1，0，1}的集合B的個(gè)數(shù)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F為拋物線y2=2x的焦點(diǎn)，A、B、C為拋物線上三點(diǎn)，若F為△ABC的重心，則|
FA
|+|
FB
|+|
FC
|的值為（　　）
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C：x2=4y與橢圓E交于點(diǎn)P，點(diǎn)P在第一象限，橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（0，1），F(xiàn)2（0，-1），|PF1|=
5
3
，直線l與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)M在曲線C上，求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且點(diǎn)P（1，
2
3
3
）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F1的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，問△F2AB的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在求其最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓4x2+y2=1，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）設(shè)橢圓在第一象限的部分曲線為C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為G、H，以O(shè)G、OH為鄰邊作平行四邊形OGMH，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）若橢圓與x軸y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，直線y=kx（k＞0）與橢圓交于R、S兩點(diǎn)，求四邊形ARBS面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線C1：y2=4x的焦點(diǎn)與橢圓C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)相同．設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，C1，C2在第一象限的交點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△OAB的面積為
6
3
a．
（1）求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過A點(diǎn)作直線l交C1于C，D兩點(diǎn)，連接OC，OD分別交C2于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，記△OEF，△OCD的面積分別為S1，S2．問是否存在上述直線l使得S2=3S1，若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)非零平面向量
m
，
n
，θ=（
m
，
n
），規(guī)定
m
?
n
=|
m
|×|
n
|sinθ．F1，F(xiàn)2是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是其上的頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)，且
OM
?
ON
=6
2
，離心率e=
1
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F2的直線交橢圓C于點(diǎn)A，B，求：
OA
?
OB
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，點(diǎn)A，B分別是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)，圓B：（x一2）2十y2=9經(jīng)過橢圓E的左焦點(diǎn)F1．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過A作直線l與y軸交于點(diǎn)Q，與橢圓E交于點(diǎn)P（異于A）．
（i）求
F1Q
•
BP
的取值范圍；
（ii）是否存在定圓r，使得以P為圓心，PF1為半徑的圓始終內(nèi)切于圓r，若存在，求出圓r的方程；若不存在，說明理由．

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