Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）與g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，3）對(duì)稱．
（1）求g（x）的解析式；  
（2）若f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)點(diǎn)（x，y）為y=g（x）圖象上任一點(diǎn)，點(diǎn)（m，n）為y=f（x）圖象上與之關(guān)于點(diǎn)（2，3）對(duì)稱的點(diǎn)，則有m+x=4，n+y=6，再由n=log_am，代入即可得到；
（2）若f（x）＜g（x）恒成立，即log_ax＜6-log_a（4-x）恒成立，即有l(wèi)og_ax+log_a（4-x）＜6，當(dāng)a＞1時(shí)，有x（4-x）＜a⁶，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，有x（4-x）＞a⁶，分別求出x（4-x）在（0，4）的最值即可得到．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)（x，y）為y=g（x）圖象上任一點(diǎn)，
點(diǎn)（m，n）為y=f（x）圖象上與之關(guān)于點(diǎn)（2，3）對(duì)稱的點(diǎn)，
則有m+x=4，n+y=6，
即有m=4-x，n=6-y，
由n=log_am，得，6-y=log_a（4-x），
即有g(shù)（x）=6-log_a（4-x）；
（2）若f（x）＜g（x）恒成立，即log_ax＜6-log_a（4-x）恒成立，
即有l(wèi)og_ax+log_a（4-x）＜6，
當(dāng)a＞1時(shí)，有x（4-x）＜a⁶，
由于x（4-x）=-（x-2）²+4≤4，當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)即最大值4，
則有a⁶＞4，解得a＞

6	4

．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，有x（4-x）＞a⁶，
x（4-x）在（0，4）無(wú)最小值，故不成立．
則a的取值范圍是：（

6	4

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)的對(duì)稱性和解析式的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用：求最值，屬于中檔題和易錯(cuò)題．