Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，證明：關(guān)于的不等式在上恒成立.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先求得導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分類討論：當(dāng)時(shí)，易得，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，令，求得極值點(diǎn)，即可判斷在極值點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)單調(diào)性.

（2）將解析式代入，移項(xiàng)后構(gòu)造函數(shù).求得導(dǎo)函數(shù).根據(jù)可知，因而構(gòu)造函數(shù)，求得導(dǎo)函數(shù)，可判斷的單調(diào)性，進(jìn)而由單調(diào)性與最值得，即.由討論的取值情況，判斷的單調(diào)性，并求得最值，即可證明，從而證明不等式成立.

（1）函數(shù)，

則；

若，則，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減；

若，令，解得，

故當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（2）證明：要證，即證，

令，

則，

當(dāng)時(shí)，，

令，則當(dāng)時(shí)，，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，

即；

∴.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故，

即，

故關(guān)于的不等式在上恒成立.