設(shè)圓C與兩圓（x+
3
）2+y2=1，（x-
3
）2+y2=1中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切．
（1）求圓心C的軌跡L的方程
（2）求直線y=x+1被軌跡L截得的弦長．
考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題：直線與圓
分析：（1）根據(jù)兩圓的方程分別找出兩圓心和兩半徑，根據(jù)兩圓內(nèi)切時(shí)，兩圓心之間的距離等于兩半徑相減，外切時(shí)，兩圓心之間的距離等于兩半徑相加，可知圓心C到圓心F1的距離加2與圓心C到圓心F2的距離減1或圓心C到圓心F1的距離減1與圓心C到圓心F2的距離加1，得到圓心C到兩圓心的距離之差為常數(shù)2，且小于兩圓心的距離2
3
，可知圓心C的軌跡為以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，根據(jù)a與c的值求出b的值，寫出軌跡L的方程即可；
（2）聯(lián)立軌跡L方程與直線y=x+1，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求出x1+x2與x1x2的值，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出直線y=x+1被軌跡L截得的弦長即可．
解答： 解：（1）兩圓的半徑都為2，兩圓心為F1（-
3
，0）、F2（
3
，0），
由題意得：|CF1|+1=|CF2|-1或|CF2|+1=|CF1|-1，
∴||CF2|-|CF1||=2=2a＜|F1F2|=2
3
=2c，
可知圓心C的軌跡是以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，且實(shí)軸為2，焦距為2
3
的雙曲線，
∴a=1，c=
3
，則b2=c2-a2=2，
則圓心C的軌跡L的方程為x2-
y2
4
=1；
（2）聯(lián)立得：
x2-
y2
4
=1
y=x+1
，
消去y得：x2-
(x+1)2
4
=1，即3x2+2x-5=0，
設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，則有x1+x2=-
2
3
，x1x2=-
5
3
，
則直線y=x+1被軌跡L截得的弦長為
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
2(x1-x2)2
=
2
•
(x1+x2)2-4x1x2
=
8
2
3
．
點(diǎn)評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，曲線的軌跡方程，韋達(dá)定理，兩點(diǎn)間的距離公式，垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿足（x-3）f′（x）≥0，則必有（　�。�
A、f（0）+f（5）＜2f（3）
B、f（0）+f（5）≤2f（3）
C、f（0）+f（5）≥2f（3）
D、f（0）+f（5）＞2f（3）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且2an+Sn=An2+Bn+C．
（1）當(dāng)A=B=0，C=1時(shí)，求an；
（2）若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且A=1，C=-2．
①求an；
②設(shè)bn=
1
an
an+1
+an+1
an
，且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求T60的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)y=-2x+1的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2n=a2n-1+（-1）n，a2n+1=a2n+3n（n∈N*）．
（1）求a3、a5、a7的值；
（2）求a2n-1（用含n的式子表示）；
（3）（文）記bn=a2n-1+a2n，數(shù)列{bn}（n∈N*）的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn（用含n的式子表示）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為a，側(cè)面B1C1CB⊥底面ABC，且AC1⊥BC．
（Ⅰ）求證：AC1⊥A1B；
（Ⅱ）求二面角B1-AB-C的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

化簡：
ln22+ln
1
4
+1
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，0＜f（-1）=f（-2）=f（-3）≤3，求c的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，A（1，0），B（
2
2
，
2
2
），C（0，1），D（-
2
2
，
2
2
），E（-1，0），F(xiàn)（-
2
2
，-
2
2
），G（0，-1），H（
2
2
，-
2
2
）這8個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)取兩點(diǎn)與原點(diǎn)O（0，0）構(gòu)成一個(gè)“平面幾何體”，記該“平面幾何體”的面積為隨機(jī)變量S（當(dāng)選取的兩點(diǎn)與原點(diǎn)O在同一直線上時(shí)，此“平面幾何體”的面積S=0）．
（1）求S=0的概率；
（2）求S的分布列與數(shù)學(xué)期望ES．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案