Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，討論關(guān)于x的方程在區(qū)間上實根的個數(shù)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．當時，的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．（Ⅱ）當或時，原方程在上僅有一個實根；當時，原方程在上有兩個實根．

【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)后，對分類討論，利用導(dǎo)函數(shù)的符號可得單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）顯然是方程的實根，在的條件下，由（Ⅰ）的單調(diào)性可得關(guān)于x的方程在區(qū)間上無實根，當時，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并對分類討論可求得結(jié)果.

（Ⅰ）由條件，得

令，得．

當時，由，得，由，得．

所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．

當時，由，得，由，得．

所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．

（Ⅱ）因為，所以是方程的實根．

當時，由（Ⅰ）知單調(diào)遞增，所以．而，

所以方程在區(qū)間上無實根．

當時，．

設(shè)，

則．

設(shè)，

當時，，所以在上單調(diào)遞增．

①當，即時，在區(qū)間上，總有，從而，所以在上單調(diào)遞增，，即原方程在上無實根．

②當，即時，因為，所以存在，滿足．

所以在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增．

又因為，，

所以當，即時，原方程在上有唯一實根，

當，即時，原方程在上無實根；

綜上所述，當或時，原方程在上僅有一個實根；

當時，原方程在上有兩個實根．