Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）過點(diǎn)（ ，1），且以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)M（x，y）是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，P（p，0）是x軸上的定點(diǎn)，求|MP|的最小值及取最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，

所以 b=c，a2=2b2，則橢圓C的方程為 ．

又因?yàn)闄E圓C：過點(diǎn)A（ ，1），

所以 ，

故a=2，b=.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．

（2）解： |MP|2=（x﹣p）2+y2．

因?yàn)?M（x，y）是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，

所以 ，

故 ．

所以 ．

因?yàn)镸（x，y）是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，

所以|x|≤2．

①若|2p|≤2，即|p|≤1，

則當(dāng)x=2p 時(shí)，|MP|取最小值 ，

此時(shí)M ．

②若p＞1，則當(dāng)x=2 時(shí)，|MP|取最小值|p﹣2|，此時(shí)M（2，0）．

③若p＜﹣1，則當(dāng)x=﹣2 時(shí)，|MP|取最小值|p+2|，此時(shí)M（﹣2，0）

【解析】（1）由已知中以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形．且橢圓C過點(diǎn)（ ，1），可得：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)M（x，y）是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，P（p，0）是x軸上的定點(diǎn)，求出|MP|的表達(dá)式，分類討論，可得|MP|的最小值及取最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：)．