【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,,為的中點.
(1)若,求證:;
(2)若,且,點在線段上,試確定點的位置,使二面角大小為,并求出的值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
試題分析:(1)由,為的中點,得,又由底面為菱形,根據(jù)菱形的性質(zhì),證得,進(jìn)而證得,即可證明;(2)以為坐標(biāo)原點,分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,得平面和平面的一個法向量,根據(jù)二面角大小為,利用向量的運算,即可求解求出的值.
試題解析:⑴∵,為的中點,∴,又∵底面為菱形,,∴,又,∴,又∵,∴;
⑵∵,,,
∴,∴以為坐標(biāo)原點,分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.
則,,,,設(shè),
所以,平面的一個法向量是,
設(shè)平面的一個法向量為,
所以,∴∴.
取,
由二面角大小為,可得:,解得,此時.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:()的左焦點為,且點在上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線同時與橢圓和拋物線:相切,求直線的方程.
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【題目】某車間甲組有10名工人,其中有4名女工人;乙組有10名工人,其中有6名女工人.現(xiàn)采用分層抽樣方法(層內(nèi)采用不放回簡單隨機抽樣)從甲、乙兩組共抽取4名工人進(jìn)行技術(shù)考核.
(1)求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù);
(2)求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率;
(3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率.
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【題目】已知是坐標(biāo)原點,若橢圓:的離心率為,右頂點為,上頂點為,的面積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點,為橢圓上兩動點,若有,證明:直線恒過定點.
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【題目】十一國慶節(jié)期間,某商場舉行購物抽獎活動,舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案,方案甲的中獎率為,中獎可以獲得3分;方案乙的中獎率為,中獎可以獲得2分;未中獎則不得分,每人有且只有一次抽獎機會,每次抽獎中獎與否互不影響,抽獎結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎品.
(1)若小明選擇方案甲抽獎,小紅選擇方案乙抽獎,記他們的累計得分為,求的概率;
(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎,分別求兩種方案下小明、小紅累計得分的分布列,并指出為了累計得分較大,兩種方案下他們選擇何種方案較好,并給出理由?
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【題目】已知函數(shù),其中且.
(Ⅰ)討論的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若直線的圖象恒在函數(shù)圖像的上方,求的取值范圍;
(Ⅲ)若存在,,使得,求證:.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上是減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(2)令,是否存在實數(shù),當(dāng)(是自然常數(shù))時,函數(shù)的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
(3)當(dāng)時,證明:.
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【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)若函數(shù)在處有極值,求函數(shù)的最大值;
(2)①是否存在實數(shù),使得關(guān)于的不等式在上恒成立?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由;
②證明:不等式.
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