Question

12．在△ABC中，已知（a²-b²）sin（A+B）=（a²+b²）sin（A-B），判定△ABC的形狀．

Answer 1

分析 由（a²-b²）sin（A+B）=（a²+b²）sin（A-B），得（a²-b²）sinC=（a²+b²）sin（A-B），右邊展開兩角差的正弦，結(jié)合正弦定理和余弦定理得到a²=b²或a²+b²=c²，從而得出該三角形是等腰三角形或直角三角形．

解答 解：∵（a²-b²）sin（A+B）=（a²+b²）sin（A-B），
∴（a²-b²）sinC=（a²+b²）sin（A-B）=（a²+b²）（sinAcosB-cosAsinB），
∴（a²-b²）c=（a²+b²）（acosB-bcosA），
則（a²-b²）c=（a²+b²）（a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}-b•\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$），
整理得a²=b²或a²+b²=c²，
故△ABC是等腰三角形或直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形形狀的判斷，考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，涉及三角形形狀的判斷問題，要么化角為邊，要么化邊為角，是中檔題．