Question

已知向量

m

=（sinx，cosx），

n

=（

3

sinx，sinx），函數(shù)f（x）=

m

•

n

（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：平面向量的綜合題

專題：綜合題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由數(shù)量積的定義和三角函數(shù)的運算可得f（x）=sin（2x-

π

3

）+

3

2

，由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，可得單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由x的范圍，可得2x-

π

3

的范圍，進而可得sin（2x-

π

3

）的范圍，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（sinx，cosx），

n

=（

3

sinx，sinx），
∴函數(shù)f（x）=

m

•

n

=sinx•

3

sinx+cosx•sinx=

.

2

（1-cos2x）+

1

2

sin2x=sin（2x-

π

3

）+

3

2

，…（3分）
∴T=π                                        …（4分）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，可得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z  …（8分）
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
∴當(dāng)2x-

π

3

=

π

3

，即x=0時，f（x）_min=0
當(dāng)2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

時，f（x）_max=1+

3

2

      …（12分）

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積，涉及三角函數(shù)的運算和正弦函數(shù)的單調(diào)性．