Question

已知數(shù)列{c_n}滿足（i）

cncn+2

≤c_n+1，（ii）存在常數(shù)M（M與n無關(guān)），使得c_n＜M恒成立，則稱數(shù)列{c_n}是和諧數(shù)列．
（1）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}，S_n為其前n項和；且a₃=4，S₃=28，求證：數(shù)列{S_n}是和諧數(shù)列；
（2）已知各項均為正數(shù)、公比為q的等比數(shù)列{b_n}，T_n為其前n項和，求證：{T_n}是和諧數(shù)列的充要條件為：0＜q＜1．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式由已知條件求出首項和公比，由此求出Sn=32-

1

2n-5

，得到存在常數(shù)M=32，使得S_n＜32恒成立，從而能證明數(shù)列{S_n}是和諧數(shù)列．
（2）先證明充分性：已知等比數(shù)列{b_n}，且0＜q＜1，則Tn=

b1(1-qn)

1-q

=

b1

1-q

-

b1qn

1-q

＜

b1

1-q

．再證明必要性：已知等比數(shù)列{b_n}，各項均為正數(shù)，T_n是其前n項和，{T_n}是和諧數(shù)列．由此能證明：{T_n}是和諧數(shù)列的充要條件為：0＜q＜1．

解答： （本小題滿分13分）
（1）證明：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比是q₀，則q₀＞0，
且

a3=a1q02=4 S3= a1(1-q03) 1-q0 =28

，解得

a1=16 q0= 1 2

，
∴Sn=32-

1

2n-5

…（3分）

∴ Sn•Sn+2 = (32- 1 2n-5 )(32- 1 2n-3 ) = 322-32( 1 2n-5 + 1 2n-3 )+ 1 22n-8 ＜ 322-2×32× 1 2n-4 + 1 22n-8 = (32- 1 2n-4 )2 =32- 1 2n-4 =Sn+1

又Sn=32-

1

2n-5

＜32，
∴存在常數(shù)M=32，使得S_n＜32恒成立．
∴數(shù)列{S_n}是和諧數(shù)列．…（7分）
（2）證明：充分性：已知等比數(shù)列{b_n}，且0＜q＜1，
則Tn=

b1(1-qn)

1-q

=

b1

1-q

-

b1qn

1-q

＜

b1

1-q

令M=

b1

1-q

，則T_n＜M，
∵T_n•T_n+2=

b12(1-qn)(1-qn+2)

(1-q)2

=（

b1

1-q

）²（1-qⁿ-qⁿ⁺²+q²ⁿ⁺²）
＜（

b1

1-q

）²（1-2qⁿ⁺¹+q²ⁿ⁺²）
=Tn+12，
∴{T_n}是和諧數(shù)列．…（9分）
必要性：已知等比數(shù)列{b_n}，各項均為正數(shù)，T_n是其前n項和，
{T_n}是和諧數(shù)列，∵b_n＞0，∴q＞0．
下面反證法證明：q＜1…（10分）
若q=1，則T_n=nb₁，∴不存在M使nb₁＜M對于n∈N^*恒成立；…（11分）
若q＞1，則Tn=

b1(1-qn)

1-q

=

b1

1-q

-

b1

1-q

qn，
對于給定的正數(shù)M，
令

b1

1-q

-

b1

1-q

qn＞M，∵q＞1∴n＞logq(

q-1

b1

M+1)，
即當n＞logq(

q-1

b1

M+1)時，總有T_n＞M
即即存在常數(shù)M，使得T_n＜M對于n∈N^*恒成立．
綜上所述：{T_n}是和諧數(shù)列的充要條件為：0＜q＜1．…（13分）

點評：本題考查數(shù)列的和諧數(shù)列的證明，考查{T_n}是和諧數(shù)列的充要條件為：0＜q＜1的證明，解題時要認真審題，注意反證法的合理運用．