Question

已知復(fù)數(shù)z₁=cosx+i，z₂=1-isinx，x∈R．
（1）求|z₁-z₂|的最小值；
（2）設(shè)z=z₁•z₂，記f（x）=Imz（Imz表示復(fù)數(shù)z的虛部）．將函數(shù)f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得的圖象向右平移

π

2

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象．試求函數(shù)g（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用已知條件直接求解|z₁-z₂|，得到表達(dá)式后，利用三角函數(shù)的最值求解復(fù)數(shù)的模的最小值；
（2）化簡(jiǎn)z=z₁•z₂，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，利用圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得的圖象向右平移

π

2

個(gè)單位長(zhǎng)度，求出函數(shù)g（x）的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)g（x）的解析式．

解答： 解（1）∵復(fù)數(shù)z₁=cosx+i，z₂=1-isinx，x∈R，
∴|z₁-z₂|=

(cosx-1)2+(1+sinx)2

=

3+2 2 sin(x- π 4 )

．
∴當(dāng)sin（x-

π

4

）=-1，即x=2kπ-

π

4

，k∈Z時(shí)，
|z₁-z₂|_min=

3-2 2

=

2

-1．
（2）∵z=z₁•z₂，
∴z=z₁•z₂=sinx+cosx+（1-sinxcosx）i．
f（x）=Imz（Imz表示復(fù)數(shù)z的虛部）．
∴f（x）=1-sinxcosx=1-

1

2

sin2x，x∈R．．
將函數(shù)f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）后，
得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是y₁=1-

1

2

sinx．
把函數(shù)y=1-

1

2

sinx的圖象向右平移

π

2

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是y=1-

1

2

sin（x-

π

2

）．
∴g（x）=1-

1

2

sin（x-

π

2

）=1+

1

2

cosx，x∈R．

點(diǎn)評(píng)：本題以復(fù)數(shù)為載體，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，函數(shù)的圖象的變換，基本知識(shí)的考查．