【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)是否存在一個(gè)正實(shí)數(shù),滿足當(dāng)時(shí),恒成立,若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)時(shí),的增函數(shù)區(qū)間為,無(wú)減函數(shù)區(qū)間;時(shí),的增函數(shù)區(qū)間為,減函數(shù)區(qū)間為;時(shí),的增函數(shù)區(qū)間為,減函數(shù)區(qū)間為;(2)存在, .
【解析】
(1)根據(jù)題意,分析函數(shù)定義域,求導(dǎo),分類討論參數(shù)不同的取值范圍時(shí)函數(shù)單調(diào)性,即可求解;
(2)根據(jù)題意,,由(1)知的最大值為,若對(duì)任意實(shí)數(shù),恒成立,只須使即可.又因?yàn)?/span>,所以不等式等價(jià)于:,即:,設(shè),對(duì)求導(dǎo),分析單調(diào)性,討論的范圍,判斷不等式成立條件.
(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,
①若在上為增函數(shù);
②若,∵,∴當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
所以在上為增函數(shù),在上為減函數(shù);
③若,∵,∴當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
所以在上為減函數(shù),在為增函數(shù)
綜上可知,時(shí),的增函數(shù)區(qū)間為,無(wú)減函數(shù)區(qū)間;
時(shí),的增函數(shù)區(qū)間為,減函數(shù)區(qū)間為;
時(shí),的增函數(shù)區(qū)間為,減函數(shù)區(qū)間為;
(2)由(1)知,時(shí),的最大值為,
若對(duì)任意實(shí)數(shù),恒成立,只須使即可.
又因?yàn)?/span>,所以不等式等價(jià)于:,
即:,
設(shè),則,
∴當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),
所以,在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),
∴當(dāng)時(shí),,不等式不成立,
當(dāng)時(shí),,不等式不成立,
當(dāng)時(shí),,不等式成立,
∴存在正實(shí)數(shù)且時(shí),滿足當(dāng)時(shí),恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某種植園在芒果臨近成熟時(shí),隨機(jī)從一些芒果樹(shù)上摘下100個(gè)芒果,其質(zhì)量分別在,,,,,(單位:克)中,經(jīng)統(tǒng)計(jì)得頻率分布直方圖如圖所示.
(1)經(jīng)計(jì)算估計(jì)這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);
(2)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為,的芒果中隨機(jī)抽取6個(gè),再?gòu)倪@6個(gè)中隨機(jī)抽取3個(gè),求這3個(gè)芒果中恰有1個(gè)在內(nèi)的概率.
(3)某經(jīng)銷商來(lái)收購(gòu)芒果,以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值,用樣本估計(jì)總體,該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個(gè),經(jīng)銷商提出如下兩種收購(gòu)方案:
A:所有芒果以10元/千克收購(gòu);
B:對(duì)質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個(gè)收購(gòu),高于或等于250克的以3元/個(gè)收購(gòu),通過(guò)計(jì)算確定種植園選擇哪種方案獲利更多?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和對(duì)稱中心;
(2)當(dāng)時(shí),方程有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)擬在高一下學(xué)期開(kāi)設(shè)游泳選修課,為了了解高一學(xué)生喜歡游泳是否與性別有關(guān),該學(xué)校對(duì)100名高一新生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:
喜歡游泳 | 不喜歡游泳 | 合計(jì) | |
男生 | 10 | ||
女生 | 20 | ||
合計(jì) |
已知在這100人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為.
(1)請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整;
(2)并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)?并說(shuō)明你的理由;
(3)已知在被調(diào)查的學(xué)生中有5名來(lái)自甲班,其中3名喜歡游泳,現(xiàn)從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求恰好有1人喜歡游泳的概率.
下面的臨界值表僅供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知直線與橢圓C交于兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)k使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖空間幾何體中,與,均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形,平面平面,平面平面.
(Ⅰ)求線段的長(zhǎng)度.
(Ⅱ)試在平面內(nèi)作一條直線,使得直線上任意一點(diǎn)與的連線均與平面平行,并給出詳細(xì)證明;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)存在唯一的零點(diǎn),且,則的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),下列結(jié)論中不正確的是( )
A.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C.的最大值為
D.既是奇函數(shù),又是周期函數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為增強(qiáng)市民交通規(guī)范意識(shí),我市面向全市征召勸導(dǎo)員志愿者,分布于各候車亭或十字路口處.現(xiàn)從符合條件的500名志愿者中隨機(jī)抽取100名志愿者,他們的年齡情況如下表所示.
分組(單位:歲) | 頻數(shù) | 頻率 |
5 | ||
① | ||
② | ||
合計(jì) |
(1)頻率分布表中的①、②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)?并在答題卡中補(bǔ)全頻率分布直方圖(如圖),再根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這500名志愿者中年齡在[30,35)歲的人數(shù);
(2)在抽出的100名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取20人參加“規(guī)范摩的司機(jī)的交通意識(shí)”培訓(xùn)活動(dòng),從這20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人,記這2名志愿者中“年齡低于30歲”的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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