Question

5．通過市場調查，得到某產品的資金投入x（萬元）與獲得的利潤y（萬元）的數據，如下表所示：

資金投入x	2	3	4	5	6
利潤y	2	3	5	6	9

參考公式：$\left\{\begin{array}{l}{\widehat=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x\overline{y}}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}}\\{\widehat{a}=\overline{y}-\widehat\overline{x}}\end{array}\right.$
（1）畫出數據對應的散點圖；
（2）根據上表提供的數據，用最小二乘法求線性回歸直線方程$\widehat{y}$=bx+a；
（3）現投入資金10（萬元），求估計獲得的利潤為多少萬元．

Answer 1

分析 （1）利用點的坐標直接畫出散點圖即可．
（2）求出樣本中心坐標，求出回歸方程的幾何量，得到回歸方程即可．
（3）利用回歸直線方程直接求出現投入資金10（萬元），估計獲得的利潤．

解答 解：（1）作圖（2分）
（2）$\overline{x}=\frac{2+3+4+5+6}{5}=4$，$\overline{y}=\frac{2+3+5+6+9}{5}=5$，
$\widehat=\frac{\sum _{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum _{i=1}^{n}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$=$\frac{2×3+3×3+4×5+5×6+6×9-5×4×5}{4+9+16+25+36-5×16}$=1.7 
∴$a=\overline{y}-b\overline{x}$=-1.8，∴$\hat{y}=1.7x-1.8$．
（3）當x=10（萬元），y=17-1.8=15.2（萬元）

點評 本題考查回歸直線方程的求法，散點圖的作法，考查計算能力．