Question

假設(shè)a₁，a₂，a₃，a₄是一個(gè)等差數(shù)列，且滿足0＜a₁＜2，a₃=4．若b_n=2^a_n（n=1，2，3，4）．給出以下命題：
①數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
②b₂＞4；
③b₄＞32；
④b₂b₄=256．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：①中，由a₁，a₂，a₃，a₄是等差數(shù)列，判定b_n=2an組成等比數(shù)列；
②中，由等差中項(xiàng)求出a₂=

a1+a3

2

＞2，得b₂＞4；
③中，由a₄=a₃+d＞5，得出b₄＞2⁵；
④中，求出b₂b₄=b32=256．

解答： 解：根據(jù)題意，得
對(duì)于①，∵a₁，a₂，a₃，a₄是一個(gè)等差數(shù)列，
設(shè)公差為d，則a_n=a₁+（n-1）d，（n=1，2，3，4）；
∴b_n=2an=2a1+(n-1)d=2a1•（2^d）^n-1，（n=1，2，3，4），
∴{b_n}是首項(xiàng)為2a1，公比為2^d的等比數(shù)列．∴命題①正確．
對(duì)于②，∵在等差數(shù)列{a_n}中，0＜a₁＜2，a₃=4，
∴a₂=

a1+a3

2

=

a1+4

2

＞2，∴b₂=2a2＞4；
∴②正確．
對(duì)于③，等差數(shù)列{a_n}中，0＜a₁＜2，a₃=4，∴公差d∈（1，2），
∴a₄=a₃+d＞5，∴b₄=2a4＞2⁵=32；
∴命題③正確．
對(duì)于④，∵b₂b₄=b32=(2a3)2=（2⁴）²=256，∴命題④正確．
綜上，以上命題正確的是4個(gè)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)熟練地應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，是一道綜合題．