【題目】己知圓F1:(x+1)2 +y2= r2(1≤r≤3),圓F2:(x-1)2+y2= (4-r)2.
(1)證明:圓F1與圓F2有公共點(diǎn),并求公共點(diǎn)的軌跡E的方程;
(2)已知點(diǎn)Q(m,0)(m<0),過點(diǎn)E斜率為k(k≠0)的直線與(Ⅰ)中軌跡E相交于M,N兩點(diǎn),記直線QM的斜率為k1,直線QN的斜率為k2,是否存在實(shí)數(shù)m使得k(k1+k2)為定值?若存在,求出m的值,若不存在,說明理由.
【答案】(1)見解析,(2)存在,
【解析】
(1)求出圓和圓的圓心和半徑,通過圓F1與圓F2有公共點(diǎn)求出的范圍,從而根據(jù)可得點(diǎn)的軌跡,進(jìn)而求出方程;
(2)過點(diǎn)且斜率為的直線方程為,設(shè),,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,根據(jù)韋達(dá)定理以及,,可得,根據(jù)其為定值,則有,進(jìn)而可得結(jié)果.
(1)因?yàn)?/span>,,所以,
因?yàn)閳A的半徑為,圓的半徑為,
又因?yàn)?/span>,所以,即,
所以圓與圓有公共點(diǎn),
設(shè)公共點(diǎn)為,因此,所以點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn)的橢圓,
所以,,,
即軌跡的方程為;
(2)過點(diǎn)且斜率為的直線方程為,設(shè),
由消去得到,
則,, ①
因?yàn)?/span>,,
所以
,
將①式代入整理得
因?yàn)?/span>,
所以當(dāng)時(shí),即時(shí),.
即存在實(shí)數(shù)使得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線E:過點(diǎn)Q(1,2),F為其焦點(diǎn),過F且不垂直于x軸的直線l交拋物線E于A,B兩點(diǎn),動點(diǎn)P滿足△PAB的垂心為原點(diǎn)O.
(1)求拋物線E的方程;
(2)求證:動點(diǎn)P在定直線m上,并求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題共13分)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,a2=4, S5=35.
(Ⅰ)求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(Ⅱ)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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【題目】在正方體中,如圖,分別是正方形,的中心.則下列結(jié)論正確的是( )
A.平面與的交點(diǎn)是的中點(diǎn)
B.平面與的交點(diǎn)是的三點(diǎn)分點(diǎn)
C.平面與的交點(diǎn)是的三等分點(diǎn)
D.平面將正方體分成兩部分的體積比為1∶1
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【題目】臺球是一項(xiàng)國際上廣泛流行的高雅室內(nèi)體育運(yùn)動,也叫桌球(中國粵港澳地區(qū)的叫法)、撞球(中國臺灣地區(qū)的叫法)控制撞球點(diǎn)、球的旋轉(zhuǎn)等控制母球走位是擊球的一項(xiàng)重要技術(shù),一次臺球技術(shù)表演節(jié)目中,在臺球桌上,畫出如圖正方形ABCD,在點(diǎn)E,F處各放一個(gè)目標(biāo)球,表演者先將母球放在點(diǎn)A處,通過擊打母球,使其依次撞擊點(diǎn)E,F處的目標(biāo)球,最后停在點(diǎn)C處,若AE=50cm.EF=40cm.FC=30cm,∠AEF=∠CFE=60°,則該正方形的邊長為( )
A.50cmB.40cmC.50cmD.20cm
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在六面體ABCDEFG中,平面平面DEFG,平面DEFC,,,且.
(1)求證:平面ACGD;
(2)若,求點(diǎn)D到平面GFBC的距離
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a>0,b>0,則“12”是“a2+a=3b2+2b”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
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【題目】隨著經(jīng)濟(jì)模式的改變,微商和電商已成為當(dāng)今城鄉(xiāng)一種新型的購銷平臺.已知經(jīng)銷某種商品的電商在任何一個(gè)銷售季度內(nèi),沒售出1噸該商品可獲利潤0.5萬元,未售出的商品,每1噸虧損0.3萬元.根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗(yàn),得到一個(gè)銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖如圖所示.已知電商為下一個(gè)銷售季度籌備了130噸該商品,現(xiàn)以(單位:噸,)表示下一個(gè)銷售季度的市場需求量,(單位:萬元)表示該電商下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該商品獲得的利潤.
(Ⅰ)視分布在各區(qū)間內(nèi)的頻率為相應(yīng)的概率,求;
(Ⅱ)將表示為的函數(shù),求出該函數(shù)表達(dá)式;
(Ⅲ)在頻率分布直方圖的市場需求量分組中,以各組的區(qū)間中點(diǎn)值(組中值)代表該組的各個(gè)值,并以市場需求量落入該區(qū)間的頻率作為市場需求量取該組中值的概率(例如,則取的概率等于市場需求量落入的頻率),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知直線與曲線交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),求.
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