【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PA⊥AC,PA⊥AB,PA=AB,,,點(diǎn)D,E分別在棱PB,PC上,且DE∥BC,
(1)求證:BC⊥平面PAC;
(2)當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí),求AD與平面PAC所成的角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).
【解析】
解法一:
(1)根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理由已知的垂直的關(guān)系,可得到線(xiàn)面垂直,這樣可以得到線(xiàn)線(xiàn)垂直,最后根據(jù)直角和線(xiàn)面垂直的判定定理證明出BC⊥平面PAC;
(2)結(jié)合(1)的結(jié)論、已知的平行線(xiàn),根據(jù)線(xiàn)面角的定義,通過(guò)計(jì)算求出AD與平面PAC所成的角的正弦值.
解法二:建立空間直角坐標(biāo)系.
(1)利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)用,證明線(xiàn)線(xiàn)垂直,再結(jié)合已知的垂直關(guān)系證明出線(xiàn)面垂直;
(2)利用空間向量夾角公式,求出AD與平面PAC所成的角的正弦值.
(解法一):(1)∵PA⊥AC,PA⊥AB,AC∩AB=A,
∴PA⊥底面ABC,
∴PA⊥BC.又∠BCA=90°,
∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D為PB的中點(diǎn),DE∥BC,
∴DEBC,
又由(1)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足為點(diǎn)E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角,
∵PA⊥底面ABC,
∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP為等腰直角三角形,
∴ADAB,
∴在Rt△ABC中,∠ABC=60°,
∴BCAB.
∴在Rt△ADE中,sin∠DAE,
∴AD與平面PAC所成的角的正弦值是.
(解法二):如圖,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A﹣xyz,設(shè)PA=a,
由已知可得P(0,0,a),A(0,0,0),,.
(1)∵,,
∴,
∴BC⊥AP.
又∵∠BCA=90°,
∴BC⊥AC,
∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D為PB的中點(diǎn),DE∥BC,
∴E為PC的中點(diǎn),
∴,,
∴又由(1)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足為點(diǎn)E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角,
∵(),(0,a,a),
∴cos∠DAE,sin∠DAE.
∴AD與平面PAC所成的角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿(mǎn)足,且是的等差中項(xiàng).
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若,對(duì)任意正數(shù)數(shù), 恒成立,試求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中, 與相交于點(diǎn),點(diǎn)在線(xiàn)段上,,且平面.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)若,, 求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C過(guò)點(diǎn)M(0,-2)、N(3,1),且圓心C在直線(xiàn)x+2y+1=0上.
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)直線(xiàn)ax-y+1=0與圓C交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)a,使得過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線(xiàn)l垂直平分弦AB?若存在,求出實(shí)數(shù)a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率等于,它的一個(gè)短軸端點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)已知、是橢圓上的兩點(diǎn),是橢圓上位于直線(xiàn)兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).
①若直線(xiàn)的斜率為,求四邊形面積的最大值;
②當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí),滿(mǎn)足,試問(wèn)直線(xiàn)的斜率是否為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為實(shí)數(shù))的圖像在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.
(1)求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),證明時(shí), .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)a為正實(shí)數(shù).如圖,一個(gè)水輪的半徑為a m,水輪圓心 O 距離水面,已知水輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng) 5 圈.當(dāng)水輪上的點(diǎn) P 從水中浮現(xiàn)時(shí)(即圖中點(diǎn))開(kāi)始計(jì)算時(shí)間.
(1)將點(diǎn) P 距離水面的高度 h(m )表示為時(shí)間 t(s)的函數(shù);
(2)點(diǎn) P 第一次達(dá)到最高點(diǎn)需要多少時(shí)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率為,以短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)坐標(biāo).
(Ⅱ)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作軸的垂線(xiàn),交橢圓于、兩點(diǎn),過(guò)橢圓上不同于點(diǎn)、的任意一點(diǎn),作直線(xiàn)、分別交軸于、兩點(diǎn).證明:點(diǎn)、的橫坐標(biāo)之積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若的極小值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
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