Question

【題目】已知二次函數(shù)滿(mǎn)足：①，有；②；③的圖像與x軸兩交點(diǎn)間距離為4．

（1）求的解析式；

（2）記，．

①若為單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍；

②記的最小值為，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）

（2）①或；②時(shí)無(wú)零點(diǎn)；時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)

【解析】

（1）設(shè)出二次函數(shù)解析式，根據(jù)已知條件得到二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸、與軸交點(diǎn)、根與系數(shù)關(guān)系，由此列方程組，解方程組求得二次函數(shù)解析式

（2）①求得解析式，根據(jù)其對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系，求得的取值范圍.

②將分成，，三種情況，結(jié)合的單調(diào)性，求得的表達(dá)式，利用換元法：令，即，結(jié)合的圖像對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，由此求得的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（1）設(shè)，由題意知對(duì)稱(chēng)軸；①

；②

設(shè)的兩個(gè)根為，，則，，

；③

由①②③解得，，，

∴．

（2）①，其對(duì)稱(chēng)軸．

由題意知：或，

∴或．

②

1)當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸，在上單調(diào)遞增，

，

2)當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸，，

3)當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸，在單調(diào)遞減，

，

∴，

令，即，畫(huà)出簡(jiǎn)圖，

i）當(dāng)時(shí)，，或0，

∴時(shí)，解得，

時(shí)，解得，有3個(gè)零點(diǎn)．

ii）當(dāng)時(shí)，有唯一解，，

有2個(gè)零點(diǎn)．

iii）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，

且，，

∴時(shí)，解得，

時(shí)，解得，有4個(gè)不同的零點(diǎn)．

iv）當(dāng)時(shí)，，，

∴有2個(gè)零點(diǎn)．

v）當(dāng)時(shí)，無(wú)解．

綜上所得：

時(shí)無(wú)零點(diǎn)；

時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；

時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；

或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)．