Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)存在極值，對(duì)于任意的，存在正實(shí)數(shù)，使得，試判斷與的大小關(guān)系并給出證明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（Ⅱ）詳見解析

【解析】【試題分析】（Ⅰ）依據(jù)題設(shè)條件先求導(dǎo)，再分類討論探求；（Ⅱ）借助題設(shè)條件，運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)分析探求：

解（Ⅰ）的定義域?yàn)?/span>，.

當(dāng)時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，則由得，，（舍去）.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，存在極值.

.

由題設(shè)得.

又，所以

.設(shè)，則，則.

令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故.

又因?yàn)?/span>，因此，即.

又由知在上單調(diào)遞減，所以，即.