Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）求的極值；

（Ⅱ）若存在，使得不等式成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，對(duì)于，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）（Ⅲ）見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，研究單調(diào)性，求極值.

（Ⅱ）先求得，分離變量，即，構(gòu)造新函數(shù)，求其最大值，即可求出的取值范圍.

（Ⅲ）令，即,求導(dǎo)研究單調(diào)性，求最小值大于0即可證得原不等式成立.

（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，.

當(dāng)時(shí)，，∴在上為增函數(shù)，沒(méi)有極值；

當(dāng)時(shí)，令

∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減

∴有極大值，無(wú)極小值.

（Ⅱ），∴

∵，∴

∴

∵，使得不等式成立

即

令，

當(dāng)時(shí)，，

∴，即.

∴在單調(diào)遞減，∴

∴.

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，令，

即

∴，則在上為增函數(shù)

∵，

∴.∵在上為增函數(shù)

∴時(shí)，，時(shí)，.

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

∴

∵∴

∵∴單調(diào)遞減，

∴

∴即.