Question

雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）過(guò)其左焦點(diǎn)F₁作x軸的垂線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)右頂點(diǎn)在以AB為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：由右頂點(diǎn)M在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，得|MF|＜|AF|，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b、c的式子，再結(jié)合平方關(guān)系和離心率的公式，化簡(jiǎn)整理得e²-e-2＞0，解之即可得到此雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍．

解答： 解：由于雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），則直線(xiàn)AB方程為：x=-c，其中c=

a2+b2

，
因此，設(shè)A（-c，y₀），B（-c，-y₀），
∴

c2

a2

-

y02

b2

=1，解之得y₀=

b2

a

，得|AF|=

b2

a

，
∵雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)M（a，0）在以AB為直徑的圓內(nèi)部
∴|MF|＜|AF|，即a+c＜

b2

a

，
將b²=c²-a²，并化簡(jiǎn)整理，得2a²+ac-c²＜0
兩邊都除以a²，整理得e²-e-2＞0，解之得e＞2（舍負(fù)）
故答案為：e＞2．

點(diǎn)評(píng)：本題給出以雙曲線(xiàn)通徑為直徑的圓，當(dāng)左焦點(diǎn)在此圓內(nèi)時(shí)求雙曲線(xiàn)的離心率，著重考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．