Question

2．已知函數(shù)y=ax²+2x+3（-1≤x≤1），a≠0，求函數(shù)y最小值．

Answer 1

分析 先求原函數(shù)的對(duì)稱軸x=$-\frac{1}{a}$，可設(shè)y=f（x），這樣討論對(duì)稱軸和區(qū)間[-1，1]的關(guān)系：分$-\frac{1}{a}≤-1$，$-1＜-\frac{1}{a}＜1$，和$-\frac{1}{a}≥1$三種情況，在每種情況里，根據(jù)二次函數(shù)f（x）的單調(diào)性及取得頂點(diǎn)或比較端點(diǎn)的值的方法求出原函數(shù)的最小值即可．

解答 解：原函數(shù)的對(duì)稱軸為x=$-\frac{1}{a}$，設(shè)y=f（x）；
∴①$-\frac{1}{a}≤-1$，即0＜a≤1時(shí)，原函數(shù)在[-1，1]上單調(diào)遞增；
∴x=-1時(shí)，原函數(shù)取到最小值a+1；
②$-1＜-\frac{1}{a}＜1$，即a＞1，或a＜-1；
1）a＞1時(shí)，$x=-\frac{1}{a}$時(shí)，f（x）取到最小值$3-\frac{1}{a}$；
2）a＜-1時(shí)，f（-1）=a+1，f（1）=a+5；
∴f（-1）＜f（1）；
∴f（-1）=a+1為f（x）的最小值；
③$-\frac{1}{a}≥1$，即-1≤a＜0時(shí)，f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增；
∴f（-1）=a+1為f（x）的最小值．

點(diǎn)評(píng) 考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸，以及二次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最小值，注意二次項(xiàng)系數(shù)a的符號(hào)，并要熟悉二次函數(shù)的圖象．