Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1-a

2

x2-ax-a（a＞0）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=l時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間[-1，1]上恒成立，求出實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）利用求導(dǎo)求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，然后再分類討論．求出最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1-a

2

x2-ax-a（a＞0）．
∴f′（x）=x²+（1-a）x-a≤0，在區(qū)間[-1，1]上恒成立，
即

f(1)≤0 f(-1)≤0

解得，a≥1；
（Ⅱ）當a=1，f（x）=

1

3

x3-x-1，
∴f′（x）=x²-1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1），
由于f（-2）=-

5

3

，f（1）=-

5

3

，
∴f（-2）=f（1），
①當t+3＜1，即t＜-2時，
[f(x)]min=f(t)=

1

3

t3-t-1，
②當-2≤t＜1時，
[f(x)]min=f(1)=

5

3

，
③當t≥1時，f（x）=0在區(qū)間[t，t+3]上單調(diào)遞增，
[f(x)]min=f(t)=

1

3

t3-t-1，
綜上可知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最小值為[f（x）]=

1 3 t2-t-1，   t∈(-∞，-2)∪[1，+∞) - 5 3 ，            t∈[-2，1)

．

點評：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論的思想，用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．