Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域為A，若常數(shù)C滿足：對任意正實數(shù)?，總存在x∈A，使得0＜|f（x）-C|＜?成立，則稱C為函數(shù)y=f（x）的“漸近值”．現(xiàn)有下列三個函數(shù)：①f（x）=

x

x-1

；②f（x）=

1，x為有理數(shù) 0，x為無理數(shù)

；③f（x）=

sinx

x

．其中以數(shù)“1”為漸近值的函數(shù)個數(shù)為（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：新定義

分析：根據(jù)函數(shù)y=f（x）的“漸近值”的定義，可以判斷，常數(shù)C應(yīng)該是當(dāng)x→x₀或∞時的函數(shù)極限值，注意只能無限趨近C，而不能等于C．

解答： 解：據(jù)函數(shù)y=f（x）的“漸近值”的定義，可知常數(shù)C=1應(yīng)該是函數(shù)f（x）當(dāng)x→x₀或∞時的函數(shù)極限值，
對于①，當(dāng)x≠0時，函數(shù)式可變?yōu)閥=

1

1- 1 x

，當(dāng)x→+∞時，

1

x

→0，所以y→

1

1-0

=1，所以函數(shù)①正確；
對于②，當(dāng)x是有理數(shù)時，||f（x）-1|=0，不滿足0＜|f（x）-C|＜?，所以②不是；
對于③，當(dāng)x→0時，

sinx

x

→1，所以③的近似值是1．
故選C

點評：本題主要考查新定義，屬于中檔題．