Question

（1）計(jì)算

∫

6 0

(x2+1)dx
（2）若f（x）是一次函數(shù)，且

∫

1 0

 f（x）dx=5，

∫

1 0

 xf（x）dx=

17

6

，求

∫

2 1

 

f(x)

x

dx的值．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)積分公式直接進(jìn)行計(jì)算即可．
（2）利用待定系數(shù)法求出f（x）的表達(dá)式，然后即可得到函數(shù)的積分．

解答： 解：（1）

∫

6 0

(x2+1)dx=(

1

3

x3+x)

|

6 0

=

1

3

×63+6=78．
（2）∵f（x）是一次函數(shù)，
∴設(shè)f（x）=ax+b，a≠0，
∵且

∫

1 0

 f（x）dx=5，
∴

∫

1 0

 （ax+b）dx=(

1

2

ax2+bx)

|

1 0

=

1

2

a+b=5，①
∵

∫

1 0

 xf（x）dx=

17

6

，
∴

∫

1 0

 xf（x）dx=

∫

1 0

 （ax²+bx）dx=(

1

3

ax3+

1

2

bx2)

|

1 0

=

1

3

a+

1

2

b=

17

6

，②
由①②得a=4，b=3，
即f（x）=4x+3，
∴

∫

2 1

 

f(x)

x

dx=

∫

1 0

 

4x+3

x

dx=

∫

1 0

 （4+

3

x

）dx=（4x+3lnx）|

2 1

=8+3ln2-4-3ln1=4+3ln2．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)積分的計(jì)算，要求熟練掌握常見函數(shù)的積分公式以及利用待定系數(shù)法求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵．