Question

【題目】如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于橢圓的右焦點(diǎn)為的左焦點(diǎn).橢圓的離心率為，拋物線與橢圓交于軸上方一點(diǎn)，連接并延長其交于點(diǎn)， 為上一動(dòng)點(diǎn)，且在之間移動(dòng).

（1）當(dāng)取最小值時(shí)，求和的方程；

（2）若的邊長恰好是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，當(dāng)面積取最大值時(shí)，求面積最大值以及此時(shí)直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）的面積最大值為．此時(shí)．

【解析】試題分析：（1）由橢圓的性質(zhì)可得，故可得，故而可求得和的方程；（2）因?yàn)?/span>，則，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，聯(lián)立拋物線與橢圓的方程可得，得代入拋物線方程得，可得，可得直線與拋物線的方程，聯(lián)立得，求出點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合面積公式可得最值.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>，則，所以取最小值時(shí)，

此時(shí)拋物線，此時(shí)，所以橢圓的方程為；

（2）因?yàn)?/span>，則，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

由得，所以或（舍去），代入拋物線方程得，即，

于是，又的邊長恰好是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，所以．此時(shí)拋物線方程為， ，則直線的方程為．聯(lián)立，得或（舍去），于是．所以，

設(shè)到直線的距離為，則，當(dāng)時(shí)， ，所以的面積最大值為．此時(shí)．