Question

已知函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

3

)+sin(2x-

π

3

)+2cos2x+a-1（a為常數(shù)），若函數(shù)f（x）的最大值為

2

+1．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移

3

8

π個單位，再向下平移2個單位得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和及差的正弦對函數(shù)化簡可得，f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)+a，由f(x)max=

2

+1可得a+

2

=

2

+1，可求a
（2）由g(x)=f(x+

3

8

π)-2=-

2

sin2x-1，要求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，只要求y=sin2x的單調(diào)遞增區(qū)間即可，令-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，k∈Z可求

解答：解：（1）∵得f(x)=sin2xcos

π

3

+sin

π

3

cos2x+sin2xcos

π

3

-sin

π

3

cos2x+cos2x+a
=sin2x+cos2x+a
∴f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)+a，…（4分）
由f(x)max=

2

+1得a=1．…（3分）
（2）∵g(x)=f(x+

3

8

π)-2=-

2

sin2x-1，…（4分）
令-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，k∈Z
∴-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ，k∈Z
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，k∈Z．…（3分）

點評：本題考查兩角和與差的正弦公式及輔助角公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解．