Question

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數，為直線的傾斜角），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）寫出曲線的直角坐標方程，并求時直線的普通方程；

（2）若直線和曲線交于兩點，點的直角坐標為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由，可得，兩邊同時乘以，然后結合極坐標與直角坐標的互化公式可得曲線的直角坐標方程，由直線的參數方程可知直線過定點，并求得直線的斜率，即可寫出直線的普通方程；

（2）把直線的參數方程代入曲線的普通方程，化為關于的一元二次方程，利用判別式、根與系數的關系及此時的幾何意義求解即可．

解：（1）因為，得

∴黃線的直角坐標方程為

當時，直線過定點，斜率.

∴直線的普通方程為，即

（2）把直線的參數方程為代入，

得.

設、的參數分別為，所以，，則與同號，

，則，即

得或

∴

∴的最大值為