【題目】已知函數(shù),且,對任意實數(shù),成立.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若,解關于的不等式;
(3)求最大的使得存在,只需,就有.
【答案】(1);(2時,;時,;時,;(3)
【解析】
(1)根據(jù)和聯(lián)立求解得到答案.
(2)討論,和三種情況,分別計算得到答案.
(3)假設存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.那么當x=1時也成立確定出t的范圍,然后研究當x=m時也應成立,利用函數(shù)的單調(diào)性求出m的最值.
(1),恒成立,則 且
即
(2)即
當時:解得;當時:
故當時:,不等式無解;
故當時:,不等式解為
綜上所述:時,;時,;時,
(3)假設存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.
取x=1,有f(t+1)≤1,即(t+1)2(t+1)1,解得﹣4≤t≤0,
對固定的t∈[﹣4,0],取x=m,有f(t+m)≤m,即(t+m)2(t+m)m.
化簡有:m2﹣2(1﹣t)m+(t2+2t+1)≤0,解得1﹣tm≤1﹣t,
故m≤1﹣t1﹣(﹣4)9
當t=﹣4時,對任意的x∈[1,9],
恒有f(x﹣4)﹣x(x2﹣10x+9)(x﹣1)(x﹣9)≤0.
∴m的最大值為9.
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【題目】已知數(shù)列與滿足.
(1)若,求數(shù)列的通項公式;
(2)若且數(shù)列為公比不為1的等比數(shù)列,求q的值,使數(shù)列也是等比數(shù)列;
(3)若且,數(shù)列有最大值M與最小值,求的取值范圍.
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【題目】已知橢圓C:的長軸是短軸的兩倍,點在橢圓上.不過原點的直線l與橢圓相交于A、B兩點,設直線OA、l、OB的斜率分別為、、,且、、恰好構成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求橢圓C的方程.
(Ⅱ)試探究是否為定值?若是,求出這個值;否 則求出它的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)(其中)
(1)求實數(shù)m的值;
(2)已知關于x的方程在區(qū)間上有實數(shù)解,求實數(shù)k的取值范圍;
(3)當時,的值域是,求實數(shù)n與a的值.
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【題目】已知橢圓: 的左,右焦點分別為,且與短軸的一個端點Q構成一個等腰直角三角形,點P()在橢圓上,過點作互相垂直且與x軸不重合的兩直線AB,CD分別交橢圓于A,B,C,D且M,N分別是弦AB,CD的中點
(1)求橢圓的方程
(2)求證:直線MN過定點R()
(3)求面積的最大值
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【題目】已知平面向量,設函數(shù)(為常數(shù)且滿足),若函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線.
(1)求的值;
(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值:
(3)證明:直線與函數(shù)的圖象不相切.
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【題目】已知數(shù)列與滿足.
(1)若,求數(shù)列的通項公式;
(2)若且數(shù)列為公比不為1的等比數(shù)列,求q的值,使數(shù)列也是等比數(shù)列;
(3)若且,數(shù)列有最大值M與最小值,求的取值范圍.
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【題目】已知是公差為的等差數(shù)列,是公比為的等比數(shù)列.
(1)若,是否存在,有?請說明理由;
(2)若(、為常數(shù),且)對任意,有,試求出、滿足的充要條件;
(3)若,,試確定所有,使數(shù)列中存在某個連續(xù)項的和是數(shù)列中的一項,請證明.
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【題目】在數(shù)列中,,其中.
(1)若依次成公差不為0的等差數(shù)列,求m;
(2)證明:“”是“恒成立”的充要條件;
(3)若,求證:存在,使得.
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