Question

設(shè)a為正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2x²+（x-a）|x-a|．
（Ⅰ）若f（0）≤-1，求a的取值范圍；
（Ⅱ）求f（x）的最小值；
（Ⅲ）若x∈（a，+∞），求不等式f（x）≥1的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知條件知，若f（0）≤-1，則-a|a|≤-1，由此能求出a的取值范圍．
（Ⅱ）當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=3x²-2ax+a²，當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）=x²+2ax-a²，分別求出其最小值后再綜合判斷．
（Ⅲ）x∈（a，+∞）時(shí)，由f（x）≥1，得3x²-2ax+a²-1≥0，利用根的判斷式進(jìn)行分類討論，能求出不等式f（x）≥1的解集．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=2x²+（x-a）|x-a|，
∴若f（0）≤-1，則-a|a|≤-1，
∴a²≥1，
解得a≥1，
故a的取值范圍是[1，+∞）．…（2分）
（Ⅱ）當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=3x²-2ax+a²，
∵對(duì)稱軸x=

a

3

，
∴f(x)min=f(a)=2a2，…（4分）
當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）=x²+2ax-a²，
∵對(duì)稱軸x=-a，
∴f(x)min=f(-a)=-2a2，
綜上：f(x)min=-2a2．…（6分）
（Ⅲ）x∈（a，+∞）時(shí)，f（x）≥1，
得3x²-2ax+a²-1≥0，
△=4a²-12（a²-1）=12-8a²，
當(dāng)△≤0，即a≥

6

2

時(shí)，
不等式的解為{x|x＞a}；  …（8分）
當(dāng)△＞0，即0＜a＜

6

2

時(shí)，
得

(x- a- 3-2a2 3 )(x- a+ 3-2a2 3 )≥0 x＞a

，
討論：當(dāng)a∈（

2

2

，

6

2

）時(shí)，解集為（a，+∞）；  …（10分）
當(dāng)a∈(0，

2

2

]時(shí)，解集為[

a+ 3-2a2

3

，+∞）．…（11分）
綜上：當(dāng)a＞

2

2

時(shí)，解集為{x|x＞a}；
當(dāng)a∈(0，

2

2

]時(shí)，解集為[

a+ 3-2a2

3

，+∞）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)最小值的求法，考查不等式的解法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．