【題目】設(shè), .

(1)若,證明: 時, 成立;

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;

【答案】(1)見解析;

(2), 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

, , 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

, 上單調(diào)遞增;

, , 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

【解析】試題分析:(1)證明不等式問題,一般轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)函數(shù)最值問題:即的最大值小于零,利用導數(shù)先研究函數(shù)的單調(diào)性,再得最大值,最后證明最大值小于零.(2)先求函數(shù)導數(shù),根據(jù)導函數(shù)在定義域上解的情況分類討論,一般分為一次與二次,根有與無,兩根大與小,最后進行小結(jié).

試題解析:(1)當時, ,要證成立,由于

只需證時恒成立,

,則

設(shè), ,

上單調(diào)遞增, ,即,

上單調(diào)遞增, ,

時, 恒成立,即原命題得證.

(2)的定義域為, ,

①當時, 解得; 解得,

所以函數(shù) 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;

②當時, 恒成立,所以函數(shù)上單調(diào)遞增;

③當時, 解得 解得,

所以函數(shù), 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;

④當時, , 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

⑤當, , 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

綜上, 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

, 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

, 上單調(diào)遞增;

, , 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

練習冊系列答案
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