Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1

x+1

，x∈[3，5]，
（1）用定義法證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值和最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）用定義法證明單調(diào)性一般可以分為五步，取值，作差，化簡(jiǎn)變形，判號(hào)，下結(jié)論．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求最值．

解答： 解（1）證明：任取3≤x₁＜x₂≤5，則f(x1)=

2x1-1

x1+1

，f(x2)=

2x2-1

x2+1

，
f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

x1+1

-

2x2-1

x2+1

=

3(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
∵3≤x₁＜x₂≤5，
∴x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f(x)=

2x-1

x+1

在[3，5]上是增函數(shù)，
（2）∵f(x)=

2x-1

x+1

在[3，5]上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有最小值f(3)=

5

4

，
當(dāng)x=5時(shí)，f（x）有最大值f（5）=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的證明及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，證明一般有兩種方法，定義法，導(dǎo)數(shù)法，可應(yīng)用于求最值．屬于基礎(chǔ)題．