Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x

-

1

a

，（a＞0，x＞0）．
（1）若f（x）在[1，2]上的最小值為

1

4

，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若存在m，n∈（0，+∞），使函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域?yàn)閇-n，-m]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)的值域

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=

1

x

-

1

a

，（a＞0，x＞0）在區(qū)間[1，2]內(nèi)遞減，能求出a=4．
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

1

x

-

1

a

單調(diào)遞減，從而

f(m)= 1 m - 1 a =-m f(n)= 1 n - 1 a =-n

，進(jìn)而ax²-x+a=0有兩個(gè)正的不等實(shí)根，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1

x

-

1

a

，（a＞0，x＞0）在區(qū)間[1，2]內(nèi)遞減，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]內(nèi)的最小值是：
f（2）=

1

2

-

1

a

=

1

4

，
解得：a=4．
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

1

x

-

1

a

單調(diào)遞減
∵f（x）在[m，n]上的值域是[-n，-m]，
∴f（m）=-m，f（n）=-n，
即

f(m)= 1 m - 1 a =-m f(n)= 1 n - 1 a =-n

．且0＜m＜n，
即方程-x=

1

x

-

1

a

有兩個(gè)不等正實(shí)根m，n，
即ax²-x+a=0有兩個(gè)正的不等實(shí)根，
判別式△=1-4a²＞0，
解得-

1

2

＜a＜

1

2

，
又a＞0，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的值和實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式的合理運(yùn)用．